Exercício 8.1 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2022

Tema: Sucessões e progressões · Do exame 2.ª fase (2022)

Enunciado

8. Na Figura 5, esquematizam-se as três primeiras etapas da construção de uma sequência de quadrados.

Como a figura ilustra:

na etapa 1, considera-se um quadrado inicial, de lado $L\text{ cm}$ , o quadrado de ordem 1;

na etapa 2, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 1, obtendo-se o quadrado de ordem 2;

na etapa 3, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 2, obtendo-se o quadrado de ordem 3;

e assim sucessivamente, obtendo-se uma sequência de quadrados inscritos uns nos outros.

8.1.

Mostre que a área do quadrado de ordem $n$ desta sequência pode ser dada, em centímetros quadrados, por $A_n = L^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Enunciado: Exercício 8.1 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2022

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

8.1. Mostre que a área do quadrado de ordem n desta sequência pode ser dada, em centímetros quadrados, por A_n = L^2 * (1/2)^(n-1)

Resposta: A área de cada quadrado é metade da área do quadrado anterior. Assim, as áreas formam uma progressão geométrica de primeiro termo $A_1 = L^2$ e razão $r = \frac{1}{2}$ , logo o termo geral é $A_n = L^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ .

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