Exercício 9.1 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2022

Tema: Trigonometria e fenómenos periódicos · Do exame 2.ª fase (2022)

Enunciado

Nas Bucólicas, de Vergílio, pode ler-se o seguinte verso:

«e o Sol duplica, declinando, as sombras crescentes.» Vergílio, Bucólicas, II, 67, tradução de Frederico Lourenço, Lisboa, Quetzal, 2021.

A observação que inspira o poeta é feita no final do dia e demora um quarto de hora.

O esquema da Figura 6 ilustra a situação.

Neste esquema, que não está à escala:

[AB][AB] representa uma árvore;

[BC][BC] representa a sombra da árvore no início da observação;

[BD][BD] representa a sombra da árvore no fim da observação;

BD‾=2 BC‾\overline{BD} = 2\,\overline{BC};

α\alpha é a amplitude, em graus, do ângulo BACBAC;

β\beta é a amplitude, em graus, do ângulo BADBAD.

9.1. Mostre que tg⁡β=2tg⁡α\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha.

Enunciado: Exercício 9.1 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2022

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

9.1. Mostre que tg⁡β=2tg⁡α\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha.

Resposta: No triângulo retângulo [ABC][ABC]: tg⁡α=BC‾AB‾\operatorname{tg}\alpha = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} No triângulo retângulo [ABD][ABD]: tg⁡β=BD‾AB‾\operatorname{tg}\beta = \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}} Como BD‾=2BC‾\overline{BD} = 2\overline{BC}: tg⁡β=2BC‾AB‾=2(BC‾AB‾)=2tg⁡α\operatorname{tg}\beta = \frac{2\overline{BC}}{\overline{AB}} = 2\left(\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\right) = 2\operatorname{tg}\alpha

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