Exercício 9.2 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2022

Nas Bucólicas, de Vergílio, pode ler-se o seguinte verso:

«e o Sol duplica, declinando, as sombras crescentes.» Vergílio, Bucólicas, II, 67, tradução de Frederico Lourenço, Lisboa, Quetzal, 2021.

A observação que inspira o poeta é feita no final do dia e demora um quarto de hora.

O esquema da Figura 6 ilustra a situação.

Neste esquema, que não está à escala:

$[AB]$ representa uma árvore;

$[BC]$ representa a sombra da árvore no início da observação;

$[BD]$ representa a sombra da árvore no fim da observação;

$\overline{BD} = 2\,\overline{BC}$;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAC$;

$\beta$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAD$.

9.2. Determine a quantos minutos do pôr do sol tem início a observação da duplicação das sombras, admitindo que $\beta = \alpha + 3{,}75^\circ$.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Na sua resolução, tenha em consideração que $\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha$ e que o Sol, no seu movimento aparente, percorre um arco de $15^\circ$ por hora.

minutos