Problema 3 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 5 2021

3. Considereu els punts de l'espai tridimensional $A = (1, a, 1)$, $B = (a, 1, 2)$, $C = (1, 1, 1)$ i $D = (0, 0, 0)$, en què $a$ és un paràmetre real.

a)

Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté).

[1,25 punts]

b)

Per al valor $a = 2$, calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$.

[1,25 punts]

Nota: Per a calcular l'àrea del triangle definit pels vectors $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$, podeu fer servir l'expressió $S = \frac{1}{2}\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|$, en què $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ és el producte vectorial dels vectors $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$.