Problema 6 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2024

a) Calculeu l'equació del pla $\pi$ que és perpendicular a la recta $AB$ i que passa pel punt mitjà entre $A$ i $B$.

Solución: $x + y + 1 = 0$

a) Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts $P = (x, y, z)$ que estan a igual distància de $A$ que de $B$, és a dir, $d(P, A) = d(P, B)$.

Solución: Desenvolupament de $d(P, A)^2 = d(P, B)^2$, que condueix a $x + y + 1 = 0$.

b) Calculeu les distàncies de $A$ i de $B$ al pla $\pi$ i comproveu que són iguals.

Solución: $\frac{4}{\sqrt{2}}$ / $2\sqrt{2}$

b) És casualitat? Raoneu la resposta.

Solución: No és casualitat: el pla és el pla mediador del segment $AB$ i conté el punt mitjà.

c) Sigui $C = (-7, 6, 3)$. El triangle $ABC$ és isòsceles? Raoneu la resposta.

Solución: Sí, és isòsceles perquè $C$ pertany al pla mediador $\pi$ i per tant $d(C, A) = d(C, B)$.

c) Calculeu la seva àrea.

Solución: 24