Problema 3 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Setembre Serie 1 2021

En $\mathbb{R}^3$ es donen els punts $A = (3, 1, 1)$, $B = (0, 0, 1)$, $C = (4, 1, 2)$ i $D = (1, 1, t)$, en què $t$ és un valor real.

a)

Per a quin valor de $t$ els quatre punts són coplanaris? [1 punt]

$t =$

b)

Trobeu el valor de $t$ per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de $5\text{ u}^3$. [1,5 punts]

NOTA: El volum d'un tetraedre definit pels vectors $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ i $\mathbf{v}_3$ és igual a un sisè del valor absolut del determinant de la matriu formada per tots tres vectors, $$V = \frac{1}{6}\left|\det(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)\right|.$$

$t_1 =$

$t_2 =$