Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2026 · Ordinaria

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta).

(a)

(1.5 puntos) Encuentra un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número $p$ de zumos que le den el tercer día. Discute el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día.

(b)

(0.5 puntos) El camarero del tercer día le dice "Por ese dinero te daré dos zumos", el cliente dice "Eso es imposible, el precio está mal calculado" ¿quién tiene razón? Justifica la respuesta.

El cliente

El camarero

(c)

(0.5 puntos) El camarero le responde, en efecto, tiene usted razón, en realidad le tengo que dar 4 zumos y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida?

€

€

€

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta).

Pregunta 1. Opción B

Para cada $a \in \mathbb{R}$ se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & -4 \\ a & 2 & -3 \end{pmatrix}$$

Se pide:

(a)

[1 punto] Calcular todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ que hacen que $A^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

(b)

[0.5 puntos] Si una matriz $B$ de tamaño $3 \times 3$ verifica que $B^2 = 2I$, ¿qué valores puede tomar $\det(B)$?

(c)

[1 punto] Calcula el rango y el determinante de la matriz $A$ para cada valor de $a \in \mathbb{R}$.

Una empresa inicia su cotización en bolsa, con un precio de 5 euros la acción. A partir de ahí, el precio de cada acción se modelizó en función del tiempo pasado en bolsa desde ese momento inicial y durante el primer mes. Se obtuvo la siguiente función $$f(t) = \frac{5t^2 + 2t + 5}{t^2 + 1}, \quad t \in [0, 30]$$

(a)

(1 punto) Si la empresa necesita que el valor de cada acción llegue a 6.5 euros para que se alcancen los objetivos previstos ¿se alcanzan en el intervalo estudiado?

Sí

No

(b)

(0.75 puntos) Estudia los intervalos en los que el precio de cada acción sube y los intervalos donde baja.

Una empresa inicia su cotización en bolsa, con un precio de 5 euros la acción. A partir de ahí, el precio de cada acción se modelizó en función del tiempo pasado en bolsa desde ese momento inicial y durante el primer mes. Se obtuvo la siguiente función $$f(t) = \frac{5t^2 + 2t + 5}{t^2 + 1}, \quad t \in [0, 30]$$

(c)

(0.75 puntos) ¿Cuál sería el valor de la acción si esta función modelizase el valor de las acciones a lo largo de toda la vida de la empresa?

euros

Se considera la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - Ax + 11 & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{5x - 1} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

(a)

(0.75 puntos) Calcular el valor de $A$ para el que $f$ es una función continua.

Se considera la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - Ax + 11 & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{5x - 1} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

(b)

(1.25 puntos) Si $A = 6$, estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

(c)

(0.5 puntos) Para $A = 6$ ¿es $x = 2$ un extremo relativo de la función? ¿de qué tipo?

Se sabe que la función $F(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)$ es una primitiva de $f$.

(a)

(1 punto) Calcular la función $f$.

(b)

(0.75 puntos) Calcula una función que sea una primitiva de $f$ y tal que en $x = 0$ tome el valor 6.

Se sabe que la función $F(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)$ es una primitiva de $f$.

(c)

(0.75 puntos) Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de $f$, el eje $x$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Dada la función $$f(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 1}$$

a)

(1.25 puntos) Calcular una primitiva de la función $f$.

Dada la función $$f(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 1}$$

b)

(1.25 puntos) Calcular el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de $f$ el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Se considera el plano $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$ y el punto $P(0, -1, -2)$.

(a)

(1.25 puntos) Encontrar la ecuación de una recta paralela a $\pi$ y que contenga al punto $P$. ¿Es única esa recta?

Se considera el plano $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$ y el punto $P(0, -1, -2)$.

(b)

(1.25 puntos) Calcular el punto $Q \in \pi$ que menos dista de $P$. ¿Qué distancia hay entre $P$ y $Q$?

$Q = ($

$,$

$,$

$)$

Un móvil se desplaza en línea recta desde el punto $P(2, 1, 3)$ hacia el punto $Q(0, -1, 1)$. Cuando llega a la mitad de la distancia de $P$ a $Q$ da un giro y se desplaza por la recta que pasa por $H(1, 1, 1)$.

(a)

(0.5 puntos) Calcula las coordenadas del punto en el que se realiza el giro.

$M = ($

$,$

$,$

$)$

(b)

(0.75 puntos) Calcula la recta por la que se desplaza el móvil tras realizar el giro.

Un móvil se desplaza en línea recta desde el punto $P(2, 1, 3)$ hacia el punto $Q(0, -1, 1)$. Cuando llega a la mitad de la distancia de $P$ a $Q$ da un giro y se desplaza por la recta que pasa por $H(1, 1, 1)$.

(c)

(0.75 puntos) Calcula el ángulo de giro del móvil.

* Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(1.6667) = 0.9520$, $F(0.9520) = 0.83$, $F(0.83) = 0.7975$, $F(0.79) = 0.7852$.

Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

Pregunta 5. Opción A En una industria textil se fabrican pantalones vaqueros. Se observan que se pueden producir dos tipos de defectos en la producción, en la longitud y en las costuras. Se hace un estudio y se detecta que el $10\,\%$ de los pantalones suspenden el test de longitud, mientras que no pasan el test de las costuras el $5\,\%$. Además, un $0.8\,\%$ de las prendas suspenden ambos test. Se pide:

(a)

[1.25 puntos] Calcular la probabilidad de que una prenda seleccionada al azar suspenda al menos uno de los test.

(b)

[1.25 puntos] Si una prenda seleccionada al azar ha suspendido el test de longitud ¿qué probabilidad hay de que también suspenda el test de costuras?

* Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(1.6667) = 0.9520$, $F(0.9520) = 0.83$, $F(0.83) = 0.7975$, $F(0.79) = 0.7852$.

Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

Pregunta 5. Opción B Una grúa debe levantar una serie de cajas. Cuando el brazo de la grúa intenta levantar más de 40kgs el sistema de seguridad se activa y la grúa no puede continuar. Supongamos que el peso de las cajas sigue una distribución $N(38, 1.2)$.

* Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(1.6667) = 0.9520$, $F(0.9520) = 0.83$, $F(0.83) = 0.7975$, $F(0.79) = 0.7852$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

(a)

[1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de seguridad se active al intentar levantar una caja?

(b)

[1.25 puntos] Se realiza el levantamiento de 10 cajas, una detrás de otra ¿cuál es la probabilidad de que el sistema salte al menos una vez?