Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2022 · Ordinaria

BLOQUE 1.A Sea $a \in \mathbb{R}$ y $$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$$

Sea $a \in \mathbb{R}$ y $P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$.

(a)

[1 punto] Calcula el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$.

(b)

[1 punto] Para $a = 1$ ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlala.

(c)

[0.5 puntos] Calcula, en caso de que exista, los valores de $a$ tal que $\det(P) = \det(P^{-1})$.

BLOQUE 1.A Sea $a \in \mathbb{R}$ y $$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$$

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$$\begin{cases} -x + 2y = -1 \\ -x + 2y + 2z = 1 \\ ax - 2y + z = 2 \end{cases}$$

(a)

[1 punto] Discute el sistema según los valores de $a$.

(b)

[0.75 puntos] Estudia si es posible encontrar un valor de $a$ para el cual la solución del sistema verifique que $x = 0$.

(c)

[0.75 puntos] Si $a = 0$, resuelve el sistema si es posible.

BLOQUE 2.B Se considera la función $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.

Se considera la función:

$$f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$$

(a)

[1 punto] Calcula el dominio de $f$ y las asíntotas, en caso de que tenga.

(b)

[1 punto] Estudia la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad.

(c)

[0.5 puntos] A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.

BLOQUE 2.B Se considera la función $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.

(a)

[1.75 puntos] Calcula una primitiva de $f(x)$, que pase por el punto $(-1, 0)$. (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t = 1 - x^2$)

BLOQUE 2.B Se considera la función $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.

(b)

[0.75 puntos] Calcula $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$ y $s$ la recta $$s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}$$

(a)

[0.75 puntos] Indica la posición relativa de $r$ y $s$.

(b)

[0.75 puntos] Calcula un plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$.

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$ y $s$ la recta $$s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}$$

(c)

[1 punto] Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.

BLOQUE 3.B Dados dos planos $\pi \equiv x + y + z = 3$, $\pi' \equiv x + y = 3$ y el punto $A = (2, 1, 6)$

(a)

[0.75 puntos] Calcula un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$.

BLOQUE 3.B Dados dos planos $\pi \equiv x + y + z = 3$, $\pi' \equiv x + y = 3$ y el punto $A = (2, 1, 6)$

(b)

[1 punto] Calcula el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$.

(c)

[0.75 puntos] Calcula el punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.

BLOQUE 4.A Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B tres cartas de copas y dos de bastos y en el sobre C cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.

(a)

[1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos.

(b)

[1.25 puntos] Se extrae una carta y resulta ser copas ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B?

BLOQUE 4.A Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B tres cartas de copas y dos de bastos y en el sobre C cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.

(a)

[1.25 puntos] Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre $65$ y $75$ kilos.

(b)

[1.25 puntos] Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de $75$ es $0.6$ ¿Cuál es la nueva media?