Exercício 6 · Exame Nacional Matemática B Época especial 2021

6. A fotografia da Figura 4 é de um toldo instalado no edifício de uma empresa, cujo movimento é controlado pela rotação de uma manivela.

Na Figura 5, que não está à escala, está representado um corte lateral do toldo e da manivela, de uma barra fixa na parede e de uma barra lateral de suporte. Nesta figura:

o setor circular $DBP$ representa o toldo;

$[AD]$ representa a parede;

a reta $AS$ representa o solo, que é perpendicular à parede;

a linha poligonal $KOMN$ representa a manivela;

$[AB]$ representa a barra fixa, de comprimento $a$, em metros;

$[BP]$ representa a barra lateral de suporte do toldo, de comprimento $b$, em metros;

$[BC]$ representa a posição de maior abertura do toldo, paralela ao solo;

o ponto $Q$ representa a projeção vertical do ponto $P$ no solo.

Na Figura 6, está representada, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, uma posição do braço da manivela, representado por $[OM]$, no seu movimento de rotação.

Nesta figura, $\theta$ representa a amplitude, em graus, do ângulo orientado no sentido positivo determinado pelo semieixo positivo $Ox$ e por $\dot{OM}$.

Quando $\theta = 0^\circ$, o ponto $P$, representado na Figura 5, coincide com o ponto $C$, correspondendo à abertura total do toldo; quando $\theta = 360^\circ$, o ponto $P$ coincide com o ponto $D$, correspondendo à recolha total do toldo.

A distância, $d$, em metros, do ponto $P$ ao solo, $\overline{PQ}$, é dada por

$$d(\theta) = 3 + 2\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{4}\right),\quad \text{com } 0^\circ \le \theta \le 360^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

6.1.

Determine o valor de $\theta$, em graus, para o qual a distância do ponto $P$ ao solo é $4$ metros.

°

6.2.

Determine o comprimento, $a$, da barra fixa e o comprimento, $b$, da barra lateral de suporte do toldo.

Apresente os resultados em metros.

Na sua resposta, poderá ser-lhe útil notar que o ponto $P$, quando $\theta = 0^\circ$, coincide com o ponto $C$ e, quando $\theta = 360^\circ$, coincide com o ponto $D$.