Exercício 5.1 e 5.2 - Modelação funcional e otimização · Exame Nacional Matemática B Época especial 2021

5. Uma empresa dedica-se ao fabrico de embalagens e pretende produzir copos de cortiça cilíndricos. A Figura 2 é um modelo de um desses copos.

Os copos têm $330\text{ cm}^3$ de volume.

5.1.

Sejam $r$ e $h$, respetivamente, o raio da base e a altura dos copos, em centímetros, e seja $A$ a área total da superfície exterior dos copos, incluindo a base, em $\text{cm}^2$.

Mostre que $A$ pode ser dada, em função de $r$, com $r > 0$, por

$$A(r) = \frac{\pi r^3 + 660}{r}$$

Na sua resposta, considere desprezável a espessura dos copos.

Comece por mostrar que $h = \frac{330}{\pi r^2}$.

5.2.

Um dos técnicos da empresa afirmou:

«Um copo cujas dimensões minimizem a quantidade de cortiça utilizada na sua produção tem o diâmetro da base superior à altura.»

Justifique que a afirmação do técnico é verdadeira.

Na sua resposta, apresente as dimensões do copo, diâmetro da base e altura, para as quais é mínima a área total da superfície exterior, incluindo a base, de acordo com os requisitos enunciados.

Resolva o problema com recurso às capacidades gráficas da calculadora.

Note que a área total da superfície exterior dos copos, de raio $r$, é dada por $A(r) = \frac{\pi r^3 + 660}{r}$.

Apresente os valores do diâmetro da base e da altura, em centímetros, arredondados às décimas.

Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados às centésimas.