Exame Nacional Matemática B 2021 · 1.ª fase

1. O consumo energético das famílias portuguesas, proveniente de gás natural, tem aumentado nas últimas décadas.

Admita que, durante duas décadas, o consumo energético anual, $G$, em gás natural das famílias portuguesas, em terajoule ($\text{TJ}$), por ano, é dado por

$$G(t) = \frac{10\,765{,}05}{1 + 11{,}81e^{-0{,}49t}}$$

em que $t = 0$ corresponde a 1997, $t = 1$ corresponde a 1998, e assim sucessivamente.

1.1.

Determine o valor do consumo energético em gás natural das famílias portuguesas no ano de 2017, de acordo com o modelo apresentado.

Apresente o resultado em $\text{TJ}$, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, seis casas decimais.

$\text{TJ}$

1.2.

De acordo com o modelo apresentado, a partir de que ano o valor do consumo energético em gás natural, em $\text{TJ}$, por ano, passou a ser superior a 9000?

Justifique a sua resposta.

2. O António pretende mudar de empresa distribuidora de gás natural. Para esse efeito, está a fazer um estudo e selecionou duas empresas: A e B.

A empresa A apresenta o seguinte tarifário:

parcela fixa: $0{,}1336$ euros por dia;

parcela variável em função da energia consumida: $0{,}0479$ euros por kWh.

A empresa B apresenta o seguinte tarifário:

parcela fixa: isento ($0$ euros por dia);

parcela variável em função da energia consumida: $0{,}0586$ euros por kWh.

2.1.

O António analisou uma fatura de gás referente a 30 dias e verificou que o consumo energético foi $325\text{ kWh}$.

De acordo com os tarifários apresentados, em qual das empresas, A ou B, teria sido menor o valor a pagar pelo consumo energético em gás natural indicado na fatura?

Justifique a sua resposta.

A

Empresa A

B

Empresa B

2.2.

O António verificou que, a partir de um certo valor de consumo energético em gás natural, em kWh, por mês, lhe seria mais favorável optar pela empresa A.

Determine esse valor.

Apresente o resultado em kWh, arredondado às unidades.

Na sua resposta, considere um mês de 30 dias. Comece por apresentar expressões das funções, $f$ e $g$, que relacionam o preço a pagar por mês com o consumo energético em gás natural, $x$, em kWh, nas empresas A e B, respetivamente.

kWh

No quintal que tem junto à sua casa, na zona de Leça da Palmeira, o António vai cultivar cogumelos e espargos para vender no mercado municipal de Matosinhos.

O António admite que o lucro que obterá por cada quilograma de cogumelos que cultivar é 3 euros e que o lucro que obterá por cada quilograma de espargos que cultivar é 4 euros.

Dadas as características do terreno, o cultivo destes dois produtos obedece às seguintes condições:

a quantidade a cultivar de cada um dos produtos não pode exceder o dobro da quantidade a cultivar do outro produto;

a quantidade total a cultivar destes dois produtos não pode exceder 9 quilogramas.

Determine a quantidade a cultivar de cada um dos produtos, de modo que, de acordo com as condições, o lucro total obtido com o cultivo dos mesmos seja máximo.

Na sua resposta, designe por $x$ a quantidade, em quilogramas, de cogumelos a cultivar e designe por $y$ a quantidade, em quilogramas, de espargos a cultivar, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema.

O António, quando se desloca ao mercado municipal de Matosinhos para vender os seus produtos agrícolas, utiliza a ponte móvel entre Leça da Palmeira e Matosinhos, no porto de Leixões. A Figura 1 é uma fotografia dessa ponte.

A ponte tem dois tabuleiros, geometricamente iguais, com apoios nas margens do rio Leça, que se movem, permitindo a passagem de barcos.

A Figura 2, que não está à escala, esquematiza a situação.

Considere o tabuleiro móvel situado na margem norte, representado por $[RP]$ na Figura 3.

Nesta figura, que não está à escala:

o ponto $Q$ situa-se na estrada de acesso à ponte, na margem norte;

o ponto $O$ é o ponto que pertence à estrada e ao tabuleiro móvel, e representa um dos apoios;

os pontos $P$ e $R$ acompanham o movimento do tabuleiro, enquanto o ponto $O$ se mantém fixo.

Seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $QOP$.

Admita que, para cada valor de $\alpha$, a altura, $h$, em metros, do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água, considerando o nível médio do mar, é dada por

$$h(\alpha) = 46 \operatorname{sen}(\alpha) + 10{,}7 \quad, \text{ com } 90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

4.1.

Determine o valor de $\alpha$ para o qual a altura do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água é igual a $25$ metros.

Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

°

4.2.

O vão desta ponte é a distância entre os dois apoios, representada por $v$ no esquema da Figura 4, que não está à escala.

Determine o vão da ponte.

O António, quando se desloca ao mercado municipal de Matosinhos para vender os seus produtos agrícolas, utiliza a ponte móvel entre Leça da Palmeira e Matosinhos, no porto de Leixões. A Figura 1 é uma fotografia dessa ponte.

A ponte tem dois tabuleiros, geometricamente iguais, com apoios nas margens do rio Leça, que se movem, permitindo a passagem de barcos.

A Figura 2, que não está à escala, esquematiza a situação.

Considere o tabuleiro móvel situado na margem norte, representado por $[RP]$ na Figura 3.

Nesta figura, que não está à escala:

o ponto $Q$ situa-se na estrada de acesso à ponte, na margem norte;

o ponto $O$ é o ponto que pertence à estrada e ao tabuleiro móvel, e representa um dos apoios;

os pontos $P$ e $R$ acompanham o movimento do tabuleiro, enquanto o ponto $O$ se mantém fixo.

Seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $QOP$.

Admita que, para cada valor de $\alpha$, a altura, $h$, em metros, do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água, considerando o nível médio do mar, é dada por

$$h(\alpha) = 46 \operatorname{sen}(\alpha) + 10{,}7 \quad, \text{ com } 90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

4.3. Seja $T$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $h$, para cada valor de $\alpha$.

Determine o valor de $T(135)$, arredondado às centésimas, e interprete-o no contexto da situação.

m/grau

5. Nas noites quentes de verão, o António gosta de se sentar no pátio da sua casa a escutar o som dos grilos.

O som que os grilos produzem é originado por movimentos das asas, designados pulsos. O número de pulsos tende a aumentar com a subida da temperatura ambiente.

5.1. A Figura 5 é um diagrama de dispersão, no qual se relaciona o número de pulsos por segundo, $y$, com a temperatura ambiente, $x$, em graus Celsius ($^\circ\text{C}$). Este diagrama foi elaborado a partir de dados registados numa experiência com um grilo da espécie Orocharis saltator. Existe uma correlação linear forte entre as variáveis relacionadas. Nesta figura, está também representada a reta $r$, reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, e são indicadas as coordenadas dos pontos do diagrama de dispersão.

Estime, a partir da equação da reta $r$, o número de pulsos por segundo feitos pelo grilo quando a temperatura ambiente é igual a $22\ ^\circ\text{C}$.

Na sua resposta:

apresente os valores dos parâmetros da equação da reta $r$ arredondados às centésimas;

apresente o valor pedido arredondado às unidades.

5. Nas noites quentes de verão, o António gosta de se sentar no pátio da sua casa a escutar o som dos grilos.

O som que os grilos produzem é originado por movimentos das asas, designados pulsos. O número de pulsos tende a aumentar com a subida da temperatura ambiente.

5.2. Admita que, para a espécie de grilos Nemobius fasciatus, a sequência que dá, aproximadamente, o número de pulsos por segundo para cada valor da temperatura ambiente, $n$, em graus Celsius, é definida por

$$u_n = 6n - 48 \quad, \quad \text{com } n \in \{15, 16, \dots, 38\}$$

5.2.1.

Justifique que os termos da sequência $(u_n)$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

5.2.2.

No âmbito de uma experiência, fizeram-se, durante alguns dias, duas audições por noite de um grilo da espécie Nemobius fasciatus, cada uma com a duração de um segundo. As temperaturas registadas em cada audição apresentam-se na tabela seguinte.

Dia · 1.ª audição · 2.ª audição

segunda-feira · $21\ ^\circ\text{C}$ · $20\ ^\circ\text{C}$

terça-feira · $23\ ^\circ\text{C}$ · $22\ ^\circ\text{C}$

quarta-feira · $25\ ^\circ\text{C}$ · $24\ ^\circ\text{C}$

quinta-feira · $27\ ^\circ\text{C}$ · $26\ ^\circ\text{C}$

sexta-feira · $29\ ^\circ\text{C}$ · $28\ ^\circ\text{C}$

Determine o número total de pulsos do grilo ocorridos no conjunto das dez audições, de acordo com o modelo apresentado.

O António guarda, como recordação, uma bola de vidro, esférica e maciça, dentro de uma caixa cúbica. A bola é tangente à superfície interior de todas as faces da caixa.

A Figura 6 mostra, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxyz$, um esquema da bola dentro da caixa. Neste esquema, que não está à escala, a bola está representada por uma esfera e a caixa pelo cubo $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

a esfera está inscrita no cubo;

a origem do referencial coincide com o centro do cubo;

os eixos $Ox$, $Oy$ e $Oz$ intersectam as faces do cubo nos centros das mesmas;

o vértice $D$ tem coordenadas $(-10,-10,10)$.

A unidade do referencial é o centímetro.

Devido à fragilidade do vidro, o António preencheu todo o espaço vazio da caixa com um material de amortecimento.

Determine o volume que o material de amortecimento ocupa no interior da caixa cúbica onde o António guarda a bola, considerando desprezável a espessura da caixa.

Apresente o resultado em centímetros cúbicos, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

* 7. A fotografia da Figura 7 mostra um vaso, suspenso por cordas, que o António tem no pátio.

O vaso tem $12\text{ cm}$ de altura e a sua forma, considerando desprezável a sua espessura, é de parte de uma superfície esférica de raio $7{,}5\text{ cm}$.

Na Figura 8, está representado um esquema do vaso e da superfície esférica.

Determine o perímetro da abertura circular do vaso, representada a sombreado na Figura 8.

Apresente o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

8. O António comprou duas mil batatas-semente para semear num terreno que tem junto à sua casa.

Seja $X$ a variável aleatória «massa, em gramas, de uma batata-semente tirada ao acaso dessas duas mil batatas-semente».

Admita que $X$ segue uma distribuição normal de valor médio $65$ gramas e que $P(50 < X < 80) = 70\%$.

A tabela seguinte relaciona a massa, em gramas, de uma batata-semente com a massa, em quilogramas, do total das batatas produzidas a partir dessa batata-semente.

Massa da batata-semente (g)

Menor do que $50$

Entre $50$ e $80$

Maior do que $80$

Massa das batatas produzidas (kg)

$0{,}8$

$m$

$1{,}5$

Na tabela, $m$ representa um número real positivo.

Com a sementeira das duas mil batatas-semente, estima-se uma produção de $2230\text{ kg}$ de batatas.

Determine o valor de $m$.