Ejercicios de Teoremas de Bolzano, Rolle y del valor medio

16 ejercicios de Teoremas de Bolzano, Rolle y del valor medio de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Navarra (PAU/EvAU) 2021-2026.

Ejercicio P2 (i) · Extraordinaria 2026

Dada la ecuación (x - 1)² + y² = 1 con y > 0, expresar y en función de x y demostrar mediante un resultado teórico que existe c tal que f'(c) = -1.

Ejercicio P5.2 · Ordinaria 2026

Dada f(x) = log_2(x * (sin(πx) + 2)), demostrar que existe un punto c en [2, 4] tal que f'(c) = 1/2 utilizando el Teorema del Valor Medio de Lagrange.

Ejercicio C1 · Extraordinaria 2025

Sea f(x) = e^(x·sin(pi/2·x)). (a) Demuestra que existe un punto c en (2,3) tal que f(c) = 1/2. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. (b) Demuestra que existe un punto d en (0,2) tal que f'(d) = 0. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado.

Ejercicio C1 · Ordinaria 2025

Sea f(x) = cos(π/2 · x) · ln(x² + x - 5). a) Demuestra que f es continua en [2, 3]. b) Demuestra que existe c ∈ (2, 3) tal que f'(c) = 0, enunciando y justificando el resultado teórico utilizado.

Ejercicio P7 · Extraordinaria 2024

P7) Se considera la función f(x) = sqrt(2x^2 + 2x + 3). a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [-1, 3] y derivable en (-1, 3). b) Comprueba que existe un valor alfa en (-1, 3) tal que f'(alfa) = sqrt(3)/2. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

Ejercicio P7 · Ordinaria 2024

Dada f(x) = x^2 + e^(x/4): a) Demuestra que f es continua en [-2, 4]. b) Comprueba que existen dos valores reales alpha y beta en (-2, 4) tales que f(alpha) = 2 = f(beta), enunciando el resultado teórico utilizado.

Ejercicio P6 · Extraordinaria 2023

P6) Se considera la función f(x) = cos[pi/2 * (x - 1)] / (x^2 - 6x + 10). a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo [1, 4]. b) Comprueba que existen dos valores alpha y beta en el intervalo (1, 4) tales que f(alpha) = -1/2 = f(beta). Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifica su uso.

Ejercicio P7 · Extraordinaria 2023

P7) Se considera la función f(x) = sqrt(1/2 - sin(pi*x / 6)). a) Demuestra que la función es continua en [7, 11] y derivable en (7, 11). b) Comprueba que existe un valor alpha in (7, 11) tal que f'(alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

Ejercicio P7 · Ordinaria 2023

Se considera la función f(x) = (x + 1)sin(πx). a) Demuestra que es continua en R. b) Comprueba que existe un valor α ∈ (0, 1) tal que f(α) = 3/4. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

Ejercicio P5 · Extraordinaria 2022

Sea f(x) = sin(π/4 · ln(1/x)). a) Demuestra que es continua en [1/e, e]. b) Demuestra que existe α ∈ (1/e, e) tal que f'(α) = (e√2)/(1 - e²), enunciando los resultados teóricos utilizados.

Ejercicio P7 · Extraordinaria 2022

Sea f(x) = ln(sin(πx/6) - cos(πx/6)). a) Demuestra que es continua en [2, 4]. b) Demuestra que existe α ∈ (2, 4) tal que f(α) = 0, enunciando los resultados teóricos utilizados.

Ejercicio P7 · Ordinaria 2022

Dada f(x) = e^(x^2-2)/x: a) Demostrar que es continua en [-2, -1]. b) Comprobar que existe α en (-2, -1) tal que f'(α) = e, enunciando y justificando los teoremas utilizados.

Ejercicio P6 · Extraordinaria 2021

Se considera la función f(x) = log_2 [sin(pi(x+1)/4) + 2^((x-5)/2)]. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [6,7]. b) Demuestra que existe un valor alpha in (6,7) tal que f(alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifica su uso.

Ejercicio P7 · Extraordinaria 2021

Se considera la función f(x) = sqrt(x + sin(pi*x/2)). a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3]. b) Demuestra que existen dos valores alpha in (1,2) y beta in (2,3) tales que f'(alpha) = f'(beta) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifica su uso.

Ejercicio P5 · Ordinaria 2021

Dada la función f(x) = (x^2 - 3x + 10)^{log[2^{x-1} · sin(pi(x+2)/6)]}, demostrar que es continua en [1,3] y que existe alpha en (1,3) con f(alpha) = 3/2 mediante el teorema adecuado.

Ejercicio P7 · Ordinaria 2021

Dada la función f(x) = ln((5x - 2 - x sin(pi x / 2))/(x^2 - 4x + 6)), demostrar que es continua en [1,3] y que existe alpha en (1,3) con f'(alpha) = 3/2 ln 2 aplicando el teorema del valor medio de Lagrange.

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