Ejercicio C1 · Matemáticas II PAU Navarra Ordinaria 2025

a) Demuestra que f es continua en [2,3].

Solución: La función $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ es continua en $\mathbb{R}$ por ser trigonométrica. Para $\ln(x^2+x-5)$, hallamos dónde $x^2+x-5 > 0$. Las raíces son $x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \approx \frac{-1 \pm 4{,}58}{2}$, cuya raíz positiva es $\approx 1{,}79 < 2$. Para cualquier $x \in [2, 3]$, $x^2+x-5 \ge 2^2+2-5 = 1 > 0$, por lo que el argumento es estrictamente positivo. Así, $\ln(x^2+x-5)$ es continua en $[2, 3]$ por ser composición de funciones continuas. El producto de funciones continuas es continuo, por lo que $f(x)$ es continua en $[2, 3]$.