Ejercicio P7 · Matemáticas II PAU Navarra Ordinaria 2023

a) Demuestra que es continua en ℝ

Solución: La función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser producto y composición de funciones continuas en $\mathbb{R}$ ($x + 1$ es una función polinómica y $\sin(\pi x)$ es composición de una función polinómica con la función seno).

b) Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s)

Solución: Teorema de los Valores Intermedios (Darboux): Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces para cualquier valor $k$ comprendido estrictamente entre $f(a)$ y $f(b)$ (suponiendo $f(a) \neq f(b)$), existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$. *Alternativamente, el Teorema de Bolzano:* Si una función $g$ es continua en $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos ($g(a) \cdot g(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$.

b) Justifica su uso y comprueba que existe un valor α ∈ (0, 1) tal que f(α) = 3/4

Solución: Consideramos el intervalo $[0, 1/2] \subset [0, 1]$. La función $f(x)$ es continua en $[0, 1/2]$ (al ser continua en $\mathbb{R}$). Calculamos los valores en los extremos: $$f(0) = (0 + 1)\sin(0) = 0$$ $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + 1\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$$ Como $0 < \frac{3}{4} < \frac{3}{2}$, por el Teorema de los Valores Intermedios existe al menos un $\alpha \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \subset (0, 1)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{4}$. *(De forma equivalente con Bolzano para $g(x) = f(x) - \frac{3}{4}$, $g(0) = -\frac{3}{4} < 0$ y $g(1/2) = \frac{3}{4} > 0$, luego existe $\alpha$ con $g(\alpha) = 0$).*