Ejercicio P5 · Matemáticas II PAU Navarra Extraordinaria 2022

Sea la función $f(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac{1}{x}\right)$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $\left[\dfrac{1}{e}, e\right]$. [0,75 puntos]

b)

Demuestra que existe un valor $\alpha \in \left(\dfrac{1}{e}, e\right)$ tal que $f'(\alpha) = \dfrac{e\sqrt{2}}{1-e^2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. [1,75 puntos]