Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2024 · Extraordinaria

1.- (2 puntos) Escribe, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $$f(x) = |x|\exp(-x)$$ en los puntos de abscisa $x = 0$ y $x = -1$.

a)

b)

2.– (2 puntos) Un nadador se encuentra a $2\text{ km}$ de la playa enfrente del puesto de la Cruz Roja. Desea ir a la caseta de las duchas que está en la misma playa a $3\text{ km}$ de distancia del puesto de la Cruz Roja. Sabiendo que nada a $3\text{ km/h}$ y anda por la arena a $5\text{ km/h}$, determinar a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a las duchas en el menor tiempo posible.

3.- (2 puntos) Dada la función $$f(x) = (1 - x^2)\tan(x).$$ Demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo $(0, \pi/2)$.

4.- (2 puntos) Halla la matriz $X$ que satisface $$AXA + B = B(2A + I),$$ donde $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ e $I$ es la matriz identidad de orden 2.

5.- (2 puntos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$$\begin{cases} x - y + az = a, \\ ax + y - z = a, \\ (a+1)x + z = a+2, \end{cases}$$

halla la matriz $A^{-1}b$ sin calcular la matriz inversa de $A$, siendo $A$ la matriz de coeficientes y $b$ la de términos independientes.

a)

Valores de $a$ para los cuales el determinante de la matriz de coeficientes es cero ($|A| = 0$):

b)

Para $a \neq 0$ y $a \neq 1$, el sistema es compatible determinado y la matriz solución es $X = A^{-1}b = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. Introduce los valores de la solución única:

c)

Discusión completa del sistema y desarrollo del cálculo de $A^{-1}b$:

6.- (2 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$, halla $a$ para que $A^2 - A = 12I + B$ con $I$ la matriz identidad de orden 2. A continuación, halla la matriz $X$ tal que $XA = AX = I$.

a)

b)

Matriz inversa $X = A^{-1} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$ para el valor obtenido de $a$:

7.- (2 puntos) Dados los planos de ecuaciones:

$$\begin{cases} ax + y + z = a^2, \\ x - y + z = 1, \\ 3x - y - z = 1, \\ 6x - y + z = 3a, \end{cases}$$

analiza según los valores del parámetro $a$ su posición relativa.

a)

Valor de $a$ para el cual el determinante de la matriz ampliada $4 \times 4$ es nulo:

b)

Para el valor crítico de $a$ hallado, ¿cuál es la posición relativa de los cuatro planos?

c)

Desarrollo del análisis de rangos y posiciones relativas:

8.- (2 puntos) Dado el punto $P \equiv (2, -1, 3)$, halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a $P$:

(i)

Paralelo a $\pi: 4x + 3y - 2z + 4 = 0$.

(ii)

Perpendicular a la recta $r \equiv \dfrac{x-3}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+2}{-4}$.

9.- (2 puntos) Una máquina de café está regulada de modo que la cantidad de café que echa está distribuida por una normal de media $125\text{ ml}$ y una desviación típica de $20\text{ ml}$. Calcula:

(i)

el porcentaje de vasos que se llenarán con más de $150\text{ ml}$.

%

(ii)

entre que capacidades $(\text{ml})$ está el $60\%$ de los cafés que dispensa la máquina.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece a continuación)

ml

ml

Tabla simplificada de la distribución normal tipificada

10.– (2 puntos) El 2 % de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable. En el 98 % de los casos da positivo en personas enfermas. Y en el 4 % de los casos da positivo en personas sanas. Halla

(i)

la probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.

(ii)

habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.