Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2024 · Ordinaria

1.- [2 puntos] Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva $y = 1/x$ en el punto $(3, 1/3)$. Comprueba que el segmento de esta recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia.

2.– (2 puntos) En una finca con forma de semicírculo de radio $20\text{ m}$ se quiere poner un jardín rectangular, de tal manera que uno de los lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte de la curva. Calcula las dimensiones del jardín para que su área sea máxima.

3.- (2 puntos) Halla la función $f$ sabiendo que

$$\int f(x)\,dx = \ln \frac{(x-1)^3}{(x+2)^2} + k.$$

Analiza la continuidad de la función $f$ en las abscisas $x = -2$ y $x = 1$.

a)

b)

c)

Dada la matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

halla $x$ e $y$ para que su inversa, $A^{-1}$, coincida con su traspuesta, $A^T$. En tal caso, halla $A^T A^2 - 2A$.

5.- (2 puntos) Añade una ecuación al sistema de ecuaciones lineales:$$\begin{cases} 2x - y + 2z = 1, \\ x + y - z = 3, \end{cases}$$de modo que sea:

(i)

incompatible.

(ii)

compatible determinado.

(iii)

compatible indeterminado.

6.- (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ halla dos matrices $B$ y $C$ tales que satisfagan las siguientes ecuaciones:$$\begin{cases} B + C^{-1} = A, \\ B - C^{-1} = A^T, \end{cases}$$donde denotamos por $A^T$, la matriz traspuesta de $A$.

(i)

Matriz $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$:

$b_{11} =$

$b_{12} =$

$b_{21} =$

$b_{22} =$

(ii)

Matriz $C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$:

$c_{11} =$

$c_{12} =$

$c_{21} =$

$c_{22} =$

7.- (2 puntos) Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones$$\begin{cases} \pi_1: & x + y + z = a - 1, \\ \pi_2: & 2x + y + az = a, \\ \pi_3: & x + ay + z = 1, \end{cases}$$

(i)

se corten en un punto.

(ii)

se corten en una recta.

(iii)

no se corten.

8.– (2 puntos) Halla la ecuación continua de la recta $s$ que está contenida en el plano $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ y corta perpendicularmente a la recta

$$r \equiv \begin{cases} x + y + z = -1, \\ 4x - y + z = 3. \end{cases}$$

$($

$,$

$,$

$)$

$($

$,$

$,$

$)$

9.– (2 puntos) En un examen de matemáticas, las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron $0{,}6$ y $-0{,}8$ y sus notas reales $94$ y $73$, respectivamente. Calcula:

(i)

la media y desviación típica de las puntuaciones del examen que siguen una distribución normal.

(ii)

entre que puntuaciones alrededor de la media está la nota del $60\%$ de los estudiantes.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

10.– (2 puntos) Dados los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A) = 0{,}27$, $P(B') = 0{,}82$ y $P(A \cup B) = 0{,}4$. Determina si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles. Calcula $P((A \cup B)')$ y $P(A' \cup B')$, ($A'$ significa suceso complementario).