Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2022 · Extraordinaria

1.- (2 puntos) Sea

$$f(x) = \frac{x^3}{(1 + x)^2}$$

(i)

Halla el dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función $f$, en caso de que existan.

(ii)

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.

2.- (2 puntos) Halla el valor de $a$ y $b$ para que la curva $y = x^3 + ax^2 + bx + 1$ tenga en el punto $(x_0, -1)$ un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga $1$.

3.- (2 puntos) Calcula los siguientes límites:

(i)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x - x}{x - \operatorname{sen} x}$$

(ii)

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1}\right)^{\frac{x^2+1}{x}}$$

4.– (2 puntos) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:$$\begin{cases} x + y + z = 2, \\ x + 2y + az = 8, \\ 2x - y - z = 1, \\ x - y + z = -2. \end{cases}$$

a)

b)

5.– (2 puntos) Calcula sin desarrollar el valor del siguiente determinante:$$\begin{vmatrix} 2 & b & c + a \\ 2 & a & b + c \\ 2 & c & a + b \end{vmatrix}$$Justifica en cada paso la propiedad de determinante que has utilizado.

6.– (2 puntos) Resuelve la siguiente ecuación matricial:$$\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

7.– (2 puntos) Determina según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de la recta$$r:\begin{cases} ax + 3y - 2z = 4, \\ 2x - y + z = 2, \end{cases}$$y el plano de ecuación $\pi: 6x + 5y - 3z = 2$.

a)

b)

c)

8.- (2 puntos) Estudia según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de las rectas siguientes:

$$\begin{cases} ax + 3y - 2z = 12, \\ 2x + 5y - z = 6, \end{cases}$$

y

$$\begin{cases} x = 5 + 3\lambda, \\ y = 1 - \lambda, \\ z = 6 + 4\lambda. \end{cases}$$

$a =$

9.- (2 puntos) Estudia la posible dependencia de los sucesos $A$ y $B$, en los siguientes casos:

(i)

$A$ y $B$ son incompatibles y ambos sucesos de probabilidad no nula.

(ii)

$B$ está incluido en $A$, y $B$ es un suceso de probabilidad no nula.

10.- (2 puntos) La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media 120 años y desviación típica 12. Si se elige un adolescente al azar, halla:

(i)

la probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132;

(ii)

la probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

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