Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2021 · Extraordinaria

1.- (2 puntos) Sea la función

$$f(x) = \frac{x^2}{2 - e^{-x}}.$$

Determinar el dominio, extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.

2.– (2 puntos) Sea la función

$$f(x) = \cos x$$

Hallar el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x = -\frac{\pi}{4}$, la gráfica de $f$ y las rectas $x = -\frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{\pi}{2}$.

a)

b)

3.– (2 puntos) Calcular los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}\right)^{\operatorname{tg} x}$$

b)

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4x - 1}{4x}\right)^x$$

4.- (2 puntos) Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} ax + y + z = 2 \\ 2x + ay + a^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$

según el valor del parámetro real $a$.

5.- (2 puntos) Hallar las matrices $A - B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$, satisfacen las siguientes identidades:

$$A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

6.- (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad.

7.- (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta, tal que:

a) pasa por el punto $P(1, 1, 1)$,

b) es paralela al plano $\pi \equiv x + y - 2z - 3 = 0$,

c) es perpendicular a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda, \\ y = 2 - \lambda, \\ z = 1 - 2\lambda, \end{cases}$

8.– (2 puntos) Calcular el valor del parámetro real $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten y calcular este punto.

$$r \equiv \begin{cases} 4x + z = a, \\ x + y = 2, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y + z = 0, \\ x + 2z = 2a. \end{cases}$$

(

,

,

)

9.- (2 puntos) El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media $20$ minutos. Se ha comprobado que el $84{,}1\,\%$ de los días llega antes de $22$ minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo $290$ días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de $18$ minutos en llegar?.

a)

b)

días

10.– Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades $0{,}5$, $0{,}2$ y $0{,}3$. El $60\,\%$ de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el $10\,\%$ de las veces que va al teatro y el $90\,\%$ de las que va de concierto.

a)

¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?

b)

Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?