Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2023 · Extraordinaria

1.- (2 puntos) Sea

$$f(x) = \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x}$$

(i)

Halla el dominio y asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función $f$ en caso de que existan.

(ii)

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.

2.– (2 puntos) Dibuja el recinto limitado por las parábolas $y = x^2 - 8x$, e $y = 10 - x^2$. Calcula su área.

Puntos de corte:

$x_1 =$

$x_2 =$

Área del recinto:

3.- (2 puntos) Calcula los siguientes límites:

(i)

$$\lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{1}{x^2}}$$

(ii)

$$\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$$

4.- (2 puntos) Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a = 2$.

(i)

(ii)

5.- (2 puntos)

(i)

Determina las matrices cuadradas de dimensión $2 \times 2$ de la forma $$M = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 0 & y \end{pmatrix},$$ que satisfagan la siguiente identidad: $MM^T = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, donde $M^T$ representa la matriz traspuesta de $M$.

$x =$

$y =$

(ii)

Resuelve el sistema $$\begin{cases} AX + BY = C, \\ AX = Y, \end{cases}$$ sabiendo que $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 15 & 3 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}.$$

6.- (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres.

a)

b)

7.- (2 puntos) La proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -1)$ sobre el plano $\pi$ es el punto $Q(-3, 2, 5)$. Halla la ecuación del plano $\pi$ y las coordenadas del punto simétrico del $P$ respecto a dicho plano $\pi$.

a)

b)

$($ $,$ $,$ $)$

8.- (2 puntos) Determina la posición relativa de los tres planos, según los valores del parámetro $m$:

$\begin{cases}

mx + y + z = 1, \\

x + my + z = m, \\

x + y + mz = m^2.

\end{cases}$

a)

Para $m \neq 1$ y $m \neq -2$, ¿cuál es la posición relativa de los tres planos?

b)

Para $m = 1$, ¿cuál es la posición relativa de los tres planos?

c)

Para $m = -2$, ¿cuál es la posición relativa de los tres planos?

9.– (2 puntos) La estadística de un equipo de baloncesto en un partido desvela que el 45 % de los puntos conseguidos por el equipo corresponde al jugador número 23, de los cuales el 65 % son triples; 15 % al jugador número 6 de los cuales el 25 % son triples y el resto de la puntuación, siendo el 10 % triples, corresponde a otros jugadores del equipo. Halla la probabilidad de que:

(i)

una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple.

(ii)

sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.

10.- (2 puntos) La estatura media de un jugador de fútbol del Real Madrid sigue una distribución normal de media 180 cm y desviación típica 10 cm. Si se elige un jugador al azar, calcula:

(i)

la probabilidad de que su altura sea superior o igual a 200 cm;

(ii)

la probabilidad de que su altura esté entre 170 y 190 cm.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)