Problema 5 · Matemáticas II PAU La Rioja Extraordinaria 2024

5.- (2 puntos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$$\begin{cases} x - y + az = a, \\ ax + y - z = a, \\ (a+1)x + z = a+2, \end{cases}$$

halla la matriz $A^{-1}b$ sin calcular la matriz inversa de $A$, siendo $A$ la matriz de coeficientes y $b$ la de términos independientes.

a)

Valores de $a$ para los cuales el determinante de la matriz de coeficientes es cero ($|A| = 0$):

b)

Para $a \neq 0$ y $a \neq 1$, el sistema es compatible determinado y la matriz solución es $X = A^{-1}b = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. Introduce los valores de la solución única:

c)

Discusión completa del sistema y desarrollo del cálculo de $A^{-1}b$: