Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2025 · Extraordinaria

APARTADO 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (2,5 puntos)

Para iluminar una estancia se requiere instalar focos. El tiempo de vida de los focos es una variable normal con media de 2000 horas. Se sabe que, tomando un foco al azar la probabilidad de que luzca más de 1800 horas es 0.8289. Calcula:

a)

La desviación típica de la distribución, (1 punto).

horas

b)

Cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90, (0,5 puntos).

horas

c)

El porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas, (1 punto).

%

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece a continuación)

APARTADO 2. ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

2.1 (2,5 puntos) Un campo de atletismo de 1 km de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.

APARTADO 2. ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

2.2 (2,5 puntos) Sea la curva $y = Ax - x^2$, $A \in \mathbb{R}^+$. Determina el valor de $A$ para que el área encerrada entre la curva $y$ y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva.

APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

a)

(1,25 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. Halla las matrices $X$ e $Y$ soluciones del sistema,

$$\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

$Y = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

b)

(1,25 puntos) En una fábrica se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se precisan 10 unidades de leche y 6 horas de mano de obra. Para la mantequilla, se necesitan 5 unidades de leche y 8 horas de mano de obra por unidad. Sabiendo que tenemos disponibles cada día 100000 unidades de leche y 110000 horas de mano de obra, calcular la producción posible de queso y de mantequilla considerando que utilizamos todo lo disponible.

APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

a)

[1,25 puntos] Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$, halla las matrices $X$ e $X^{-1}$ tal que $XAX^{-1} = B$.

APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

3.2 Responda a los dos subapartados siguientes.

b)

(1,25 puntos) Determina la relación entre $a$ y $b$, con $a, b \in \mathbb{R}$ conocidos, para que el sistema

$$\begin{cases} 2x + y - 3z = a \\ -2x - y + 3z = b \end{cases}$$

sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado?.

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

a)

[1,25 puntos] Dados los planos de ecuaciones$$\begin{cases} x + y + z = 2, \\ 2x + y - z = 4, \\ mx + y + 3z = 6, \\ x - 2z = m, \end{cases}$$Determina el valor del parámetro $m$ para que los planos se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.

(,,)

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

b)

[1,25 puntos] Calcula la distancia de la recta $r \equiv \dfrac{x - 3}{-1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z + 2}{5}$ al plano $\pi: -x - 3y + z + 4 = 0$.

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.2 Responda a los tres subapartados siguientes.

a)

[0,5 puntos] Dado el punto $P \equiv (0, 2, 1)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es paralelo a $\pi: 2x - 5y + z + 3 = 0$.

b)

[0,5 puntos] Dado el punto $P \equiv (1, 0, -3)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a la recta $r$:$$r \equiv \begin{cases} 5x + y - z = 4, \\ 2x - 2y - z = 5. \end{cases}$$

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.2 Responda a los tres subapartados siguientes.

c)

[1,5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas$$r \equiv \begin{cases} x = 5 + \lambda, \\ y = -1, \\ z = 8 + 2\lambda, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\mu, \\ y = 2 - \mu, \\ z = -1 + 4\mu. \end{cases}$$