Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2026 · Extraordinaria

En una prueba de diagnóstico médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0.6 y −0.8 y sus índices reales son 109 y 88, respectivamente.

Calcula:

a)

La media y desviación típica del índice analizado. [1 punto]

b)

Entre qué valores simétricos respecto a la media está el índice del 80 % de los individuos de dicho estudio. [1 punto]

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada)

Pregunta 2.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:

En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3\text{ km/h}$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2.8\text{ km/h}$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2.2\text{ km}$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2\text{ km}$.

a)

Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima. [1.75 puntos]

b)

Determina la distancia mínima. [0.25 puntos]

Pregunta 3.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:

a)

Dos productos $A$ y $B$ compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda:

$$x_a = 17 - 2p_a + \frac{1}{2}p_b, \quad x_b = 20 - 3p_b + \frac{1}{2}p_a$$

Las ecuaciones de oferta son:

$$p_a = 2 + x_a + \frac{1}{3}x_b, \quad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \frac{1}{4}x_a$$

que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ y $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a$, $x_b$, $p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

[1 punto]

Pregunta 3.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:

b)

Dada la matriz

$$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. [1 punto]

4.1 Halla el área total de la figura limitada por $y = x^3$, $y = 2x$ e $y = x$. [2 puntos]

4.2 a) Sea $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. [1 punto]

4.2 b) Dados $a, b \in \mathbb{R}$, estudia la continuidad de $f$, en función de $a, b$, para todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función: [1 punto]

$$f(x) = \begin{cases} e^{ax+b}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - ax + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$

5.1 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Sean la recta $r: \frac{x}{3} = y = \frac{z-11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.

a)

Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$. [1 punto]

b)

Halla la distancia de $P$ a la recta $r$. [1 punto]

5.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones:

$$\begin{cases} \pi_1: x + y + z = 1, \\ \pi_2: (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3: x + (a - 1)y - z = 0, \end{cases}$$

a)

se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte. [1 punto]

b)

se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica. [1 punto]