Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Ordinaria Reserva

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x^2 + 1)e^x$.

a)

[1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

b)

[1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por:

$$f(x) = \begin{cases} a e^{-x} + b\ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

a)

[1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.

b)

[1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$.

a)

[1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.

b)

[1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Calcula $$\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx$$.

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = e^x$).

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

[1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices $((AB)^5)^{-1}$ y $27AB^6$.

b)

[1,25 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica que $AXB = 9I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a-1 & 0 \end{pmatrix}$.

a)

[1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$.

$a_1 =$

$a_2 =$

$\operatorname{rg}(A) =$

$\operatorname{rg}(A) =$

b)

[1,25 puntos] Si $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $a = 2$ resuelve, si es posible, el sistema $AX = B$.

$x =$

$y =$

$z =$

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera la recta $r \equiv \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-2}{2} = 3-z$ y el punto $P(0, 2, -4)$.

a)

[1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$.

b)

[1,25 puntos] Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $P$ sea igual a $\sqrt{50}$.

BLOQUE D

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.