Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Ordinaria Suplente

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}$, para $x \neq \pm 1$. Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0, 1)$ y es paralela a la recta $y = 2x$, calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$.

1.

2.

3.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \operatorname{arc\,tg}(x + \pi)$, donde $\operatorname{arc\,tg}$ denota la función arcotangente.

a)

[1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de $f$. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b)

[1 punto] Calcula $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\operatorname{arc\,tg}(x + \pi)}{\operatorname{sen}(x)}$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Halla la función $f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3, -4\ln 5)$ y verifica $f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

f(x) =

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x$. Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$.

F(x) =

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}$.

a)

[0,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa.

b)

[1,75 puntos] Para $m = 0$ calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica $A^2 X = \frac{1}{2}(A + B)$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Considera los puntos $P(1, 0, 1)$ y $Q(3, -2, 1)$.

a)

[1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio.

b)

[1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta $r \equiv 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1$ que pasa por $P$ y $Q$.

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos $A(1, 1, 2)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(1, -1, 2)$.

a)

[1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.

b)

[1,25 puntos] Calcula $D$ para que los puntos $A, B, C$ y $D$ sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

$D = ($

,

,

$)$