Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Ordinaria Titular

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea la función $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$.

a)

[1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b)

[1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función continua $f$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\cos(x) - a\operatorname{sen}(x)}{x^3} & \text{si } x < 0 \\ b\cos(x) - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Calcula $a$ y $b$.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$, para $x \ne -1$, $x \ne 1$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Halla la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = x\cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi, 2\pi)$.

BLOQUE C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

a)

[1 punto] Calcula $A^{2024}$.

b)

[1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2 X A + I = O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

BLOQUE C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera el sistema $$\begin{cases} y + z = 1 \\ (k - 1)x + y + z = k \\ x + (k - 1)y + z = 0 \end{cases}$$

a)

[1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de $k$.

b)

[0,75 puntos] Para $k = 1$ resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que $y = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

BLOQUE D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

a)

[1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2, 2, 1)$ respecto de la recta $$r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}$$

b)

[1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $Q(1, -1, -3)$ respecto del plano $\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0$.

BLOQUE D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.

b)

[1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas.