Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Ordinaria Reserva

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

Determina $a$ y $b$. [1,5 puntos]

b)

Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. [1 punto]

Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a + b\operatorname{sen}(x) + c\operatorname{sen}(2x)$ tiene un punto crítico en el punto de abscisa $x = \pi$ y la recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Considera la función $f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (\ln(x))^2$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1 punto]

b)

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y las rectas $y = 0$, $x = 1$, $x = e$. [1,5 puntos]

Calcula $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{1 + \sqrt{e^x}} \, dx$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$.) [2,5 puntos]

Considera el sistema de ecuaciones

$\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - y - 2z = 0 \\

-x + 2y + mz = 0

\end{cases}$

a)

Calcula $m$ para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

[1,5 puntos]

b)

Para $m = 2$, ¿existe alguna solución tal que $z = 1$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

[1 punto]

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, con determinante igual a $2$.

a)

Calcula razonadamente $\left|\frac{1}{3}A^{-1}A^t\right|$. [0.5 puntos]

b)

Calcula razonadamente los determinantes [2 puntos]

$$\begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} 2a-2b & c & b \\ 2d-2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}.$$

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas

$$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}$$

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas $r$ y $s$, calcula su área.

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas

$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}$$

a)

Estudia la posición relativa de $r$ y $s$ según los valores de $m$. [1.5 puntos]

b)

Para $m = 1$, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. [1 punto]