Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2022 · Ordinaria Reserva

Sea $f$ la función continua definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\[2ex] \dfrac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

a)

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$. (1,5 puntos)

b)

Para $a = 2$ y $b = -1$, estudia la derivabilidad de $f$. (1 punto)

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\dfrac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado. [2,5 puntos]

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x \operatorname{sen}(2x)$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 0)$. [2,5 puntos]

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 1 - x^2$ y $g(x) = 2x^2$.

a)

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboza el recinto que delimitan. [1,25 puntos]

$x_1 =$ $x_2 =$

b)

Determina el área del recinto anterior. [1,25 puntos]

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.

a)

Calcula $A^{-1}$. (1 punto)

b)

Calcula la matriz $X$ de orden tres que verifica $AX + (A - X)^2 = X^2 + I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden tres. (1,5 puntos)

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM... Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño? (2,5 puntos)

Fase I (minutos):

Fase II (minutos):

Fase III (minutos):

Considera las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$.

a)

Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (1,5 puntos)

b)

Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $s$. (1 punto)

Considera los planos $\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0$ y $\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0$, así como la recta $r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}$.

a)

Calcula los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (1,5 puntos)

b)

Halla el ángulo que forman los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (1 punto)