Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Extraordinaria Titular

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por

$$f(x) = a + b\cos(x) + c\operatorname{sen}(x).$$

Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ a la recta $y = 1$ como recta tangente, y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2}$.

a)

[1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

b)

[1 punto] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Sean $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = -x^2 + 7$ y $g(x) = |x^2 - 1|$.

a)

[1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

$x_1 =$

y $x_2 =$

b)

[1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Halla

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x)\,dx.$$

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

[1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA = -AX^t$ y $X^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

b)

[1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA = AY$, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante $-1$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros.

a)

[1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?

€

b)

[1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es $\frac{2}{5}$ del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

€

€

€

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$.

a)

[1 punto] Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$.

b)

[1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por el punto $P(2, -1, -2)$ y es perpendicular a $r$.

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos $A(4, 0, 0)$ y $B(0, 2, 0)$. Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$.