Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Extraordinaria Reserva

BLOQUE A

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos de área $25\text{ cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

a)

b)

BLOQUE A

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función definida por $f(x) = \dfrac{ax^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3}$, para $x^2 + bx - 3 \neq 0$.

a)

[1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que $y = x - 2$ sea una asíntota oblicua de la gráfica de $f$.

b)

[1 punto] Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de $f$ cuando $a = 0$ y $b = 2$.

BLOQUE B

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función$$f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \le 0 \\ x\cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$Calcula $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx$.

BLOQUE B

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Calcula una primitiva de la función $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)^2 \ln\left(\dfrac{\sqrt{x-1}}{2}\right)$ cuya gráfica pase por el punto $(5, -7/2)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $x - 1 = t^2$).

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

[1 punto] Sabiendo que el determinante de $A$ es $5$, calcula $$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix},$$ indicando las propiedades que utilizas.

b)

[1,5 puntos] Calcula los valores $(x, y, z)$ tales que $B \cdot A = C$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera el sistema $$\begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

a)

[1,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado.

b)

[0,75 puntos] Para $m = 2$ resuelve el sistema, si es posible.

$x =$

$y =$

$z =$

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera las rectas $$r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2} \quad y \quad s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}$$

a)

[1,25 puntos] Calcula $a$ para que las rectas se corten.

b)

[1,25 puntos] Para $a = -1$, halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$.

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera los vectores $\vec{u} = (1, a, 2)$ y $\vec{v} = (-2, 1, a)$.

a)

[1 punto] Calcula $a$ para que ambos vectores formen un ángulo de $\pi/3$ radianes.

b)

[1,5 puntos] Calcula $a$ para que el vector $(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}$ sea ortogonal a $\vec{u}$.