Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2023 · Ordinaria Reserva

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de $6\text{ cm}$ de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - \ln(1 + x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}$, calcula $a$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Calcula $\int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^2} \, dx$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 + 1$.

a)

[0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de $f$ en el que la recta tangente es $y = 4x - 3$.

b)

[1,75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta $y = 4x - 3$ y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Una fábrica dispone de tres líquidos $L_1$, $L_2$ y $L_3$, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido $L_1$ contiene $120\text{ mg}$ de sodio y $90\text{ mg}$ de magnesio, cada litro del líquido $L_2$ contiene $100\text{ mg}$ de sodio y $90\text{ mg}$ de magnesio y cada litro del líquido $L_3$ contiene $60\text{ mg}$ de sodio y $180\text{ mg}$ de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L_1$, $L_2$ y $L_3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de $100\text{ mg}$ cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

¿Es posible obtener la mezcla?

Sí

No

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$.

a)

[1 punto] Determina los valores de $m$ para que la matriz $A$ tenga inversa.

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ excepto para dos valores ($m \neq m_1$ y $m \neq m_2$). Introduce ambos valores de $m$ que anulan el determinante:

b)

[1,5 puntos] Calcula para $m = 1$, si es posible, la matriz $X$ tal que $AX = B^t$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$.

Introduce los elementos de la matriz $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$:

Considera los puntos $A(1, -2, 3)$ y $B(2, 0, -1)$.

a)

[1,5 puntos] Halla los puntos que dividen el segmento $AB$ en cuatro partes iguales.

$($ $,$ $,$ $)$

$($ $,$ $,$ $)$

$($ $,$ $,$ $)$

b)

[1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento $AB$ que pasa por el punto medio de dicho segmento.

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y la recta $r \equiv x - 1 = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 1}{2}$. Halla la ecuación de un plano $\pi'$, paralelo a $\pi$, tal que si $Q$ y $Q'$ son respectivamente los puntos de corte de la recta $r$ con los planos $\pi$ y $\pi'$, entonces la distancia entre $Q$ y $Q'$ sea de $2$ unidades.