Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2024 · Extraordinaria Suplente

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

a)

[1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b)

[1,5 puntos] Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Extremos relativos:

Extremos absolutos:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1+x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = 5$$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

a)

b)

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \int_0^x \cos(t)\operatorname{sen}^2(t)\,dt$$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4}$.

a)

b)

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Calcula $\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^x}}$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1+e^x}$).

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{cases}

ax + y + z = 1 + a \\

x + 2y - z = 1 - a \\

x + (1 + a)y - az = 0

\end{cases}$

a)

[1,5 puntos] Calcula $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado.

b)

[1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $a = 0$.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$, $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 2.

a)

[1,5 puntos] Sabiendo que $A$ verifica la identidad $(A + a\,I)^2 = b\,I$, halla $a$ y $b$.

b)

[1 punto] Resuelve la ecuación $MX + M^2 = I$.

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{21} =$

$x_{22} =$

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv x - y = 0$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = z-2$.

a)

[1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.

b)

[1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a $r$, contenida en $\pi$ y que pasa por el origen.

Considera los puntos $O(0,0,0)$, $A(a,-1,2)$ y $B(a,1,0)$.

a)

[1,5 puntos] Determina $a$ para que el triángulo $OAB$ tenga área $3$ unidades cuadradas.

b)

[1 punto] Calcula $a$ para que $O$, $A$ y $B$ sean coplanarios con el punto $C(1,1,0)$.