Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Extraordinaria Suplente

EJERCICIO 1 [2.5 puntos]

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{\ln(x + 1)} - \frac{a}{x} \right)$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2 [2.5 puntos]

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x}$ (para $x \neq a$).

a)

Halla $a$ y $b$ sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 3)$ y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale $-4$. [1.25 puntos]

b)

Para $a = 2$ y $b = 3$, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$. [1.25 puntos]

EJERCICIO 3 [2.5 puntos]

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 + |x - 1|$.

a)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1.25 puntos]

b)

Calcula $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$. [1.25 puntos]

EJERCICIO 4 [2.5 puntos]

Considera la función $f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = xe^x$.

a)

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y las rectas $x = 2$, $y = x$. [1 punto]

b)

Determina el área del recinto anterior. [1.5 puntos]

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m + 1 & m \\ m & m & m + 2 \end{pmatrix}$$.

a)

¿Para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$? Razona la respuesta. [1.5 puntos]

b)

Para $m = 1$, halla $\left(\frac{1}{2} A\right)^{-1}$. [1 punto]

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 €.

a)

Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. [1.5 puntos]

b)

¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta. [1 punto]

Sí

No

Considera el punto $P(1, 0, 1)$ y el plano $\pi \equiv x - y + z + 1 = 0$.

a)

Halla el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$. [1,25 puntos]

$P' = ($

,

,

$)$

b)

Halla la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. [1,25 puntos]

Considera las rectas

$$r \equiv \frac{x - 2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}$$

a)

Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. [1.25 puntos]

b)

Calcula, si es posible, el plano que contiene a $r$ y a $s$. [1.25 puntos]