Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2023 · Extraordinaria Suplente

Sea $f\colon (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = \frac{\ln(x + 1) + a}{3x + 4}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

[1 punto] Determina $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $1$.

Sea $f\colon (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = \frac{\ln(x + 1) + a}{3x + 4}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

b)

[1,5 puntos] Para $a = 0$, estudia y calcula las asíntotas de $f$.

seek

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de 20 litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Calcula una primitiva de la función $f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \operatorname{arc\,tg}(\sqrt{x})$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1)$ ($\operatorname{arc\,tg}$ denota la función arco tangente).

Sugerencia: efectúa el cambio $x = t^2$.

EJERCICIO 4. [2,5 puntos]

Considera la función $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \ln(x + 1)$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano.

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y la recta $x = e - 1$.

$\text{u}^2$

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica la ecuación $3X - B^t = AX$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$.

Introduce los elementos de la matriz solución $X$ de dimensiones $3 \times 2$:

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30 % de las series de animación más el 50 % de las de ciencia ficción coincide con el 20 % de total de series. El 25 % de las series de animación más el 50 % de las de ciencia ficción más el 60 % de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Determina los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{cases}$ que son equidistantes de los planos cartesianos $OYZ$ y $OXZ$.

Introduce las coordenadas de los dos puntos obtenidos, $P_1$ y $P_2$:

Punto 1 ($y = x$):

(

,

,

)

Punto 2 ($y = -x$):

(

,

,

)

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 3x - 2z = -2 \end{cases}$

a)

[1.5 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a $r$ que contiene a la recta $-x + 1 = y = \frac{z - 3}{2}$.

b)

[1 punto] Calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $2x + 5y + 3z = 41$.