Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Extraordinaria Suplente

Ejercicio 1

Se considera la función $f: (-2\pi, 2\pi) \to \mathbb{R}$ definida por$$f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}$$

(a)

[1,5 puntos] Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

(b)

[1 punto] Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Sea $f$ la función definida por $f(x) = \dfrac{x^4}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

(a)

[2 puntos] Halla todas las funciones primitivas de $f$.

(b)

[0,5 puntos] Calcula la primitiva que pasa por $(2, 0)$.

Ejercicio 3

Considera la matriz$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$de la que se sabe que tiene determinante $5$.

(a)

[1,75 puntos] Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes:$$3A \quad\text{y}\quad \begin{pmatrix} 2a & d+3a & g \\ 2b & e+3b & h \\ 2c & f+3c & i \end{pmatrix}$$

(b)

[0,75 puntos] Si $B$ es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz $BA^{-1}$.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(2, -2, -1)$ con vector director $\vec{v} = (k, 3 + k, -2k)$ y sea $\pi$ el plano de ecuación $-x + 2y + 2z - 1 = 0$.

(a)

[0,5 puntos] Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea paralela a $\pi$.

(b)

[0,5 puntos] Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea perpendicular a $\pi$.

(c)

[1,5 puntos] Para $k = -1$, calcula los puntos de $r$ que distan 3 unidades de $\pi$.

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Se sabe que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por

$$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c,$$

tiene un punto de inflexión para $x = 1$ y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es $y = -6x + 6$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

Ejercicio 2.- Considera las funciones $f, g: [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \cos(x)$ y $g(x) = \operatorname{sen}(x)$.

(a)

[1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b)

[1,5 puntos] Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de $f$ y de $g$ en el intervalo $\left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$.

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \quad y \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

(a)

[1,5 puntos] Encuentra los valores de $a$ para los que el sistema dado por $AX = 2X$ tiene infinitas soluciones.

(b)

[1 punto] Para $a = 0$, si es posible, resuelve $AX = 2X$.

Ejercicio 4.- Considera el punto $P(-5, 3, 1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-3}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$.

(a)

[1 punto] Calcula la ecuación general del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.

(b)

[1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r$.