Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2022 · Extraordinaria Suplente

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f$ la función continua definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\[2ex] \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

a)

Calcula $\lambda$ y $\mu$. [1,25 puntos]

b)

Para $\lambda = 2$, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$. [1,25 puntos]

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}, \text{ para } x \neq -2.$$

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1,5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}, \text{ para } x \neq -2.$$

b)

Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. [1 punto]

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Calcula

$$\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2}\,dx$$

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$, con $a > 0$. Determina el valor de $a$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Considera el sistema de ecuaciones lineales:$$\begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

a)

Discute el sistema según los valores de $\alpha$. [1,25 puntos]

b)

Para $\alpha = 1$ resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible. [1,25 puntos]

Considera el sistema:$$\begin{cases} x - my - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + mz = 3m \end{cases}$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$. [1,75 puntos]

b)

Para $m = 1$ resuelve el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

Sea el plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$.

a)

Halla las ecuaciones de los planos paralelos a $\pi$ que distan 2 unidades de dicho plano. [1,5 puntos]

b)

Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados. [1 punto]

u³

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera las rectas $r \equiv x = 1 - y = z$ y $s \equiv \begin{cases} x + y - 3z = 4 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases}$

a)

Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. (1,5 puntos)

b)

Calcula la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$. (1 punto)