Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Extraordinaria Titular

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Un alambre de $10$ metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

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Ejercicio 2.-

a)

[2 puntos] Determina la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$ y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

b)

[0'5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Ejercicio 3.- Considera las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

a)

[1 punto] Halla, si es posible, $A^{-1}$ y $B^{-1}$.

b)

[0'25 puntos] Halla el determinante de $AB^{2013} A^t$ siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

c)

[1'25 puntos] Calcula la matriz $X$ que satisface $AX - B = AB$.

Ejercicio 4.- Considera el plano $\pi$ de ecuación $2x + y + 3z - 6 = 0$.

a)

[1'5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

b)

[1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano $\pi$ y los planos coordenados.

Sea $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{2\ln(x)}{x^2}$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

a)

[1'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{2\ln(x)}{x^2}$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

b)

[0'75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

Ejercicio 2

Sea $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $g(x) = -x^2 + 6x - 5$.

a)

[0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x = 4$.

b)

[1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $g$ y la recta $x - 2y + 2 = 0$. Calcula el área de este recinto.

$x_1 =$

$x_2 =$

$\text{u}^2$

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

$\left.\begin{array}{rcccl}

2x & - & 4y & + & 6z & = & 6 \\

& & my & + & 2z & = & m + 1 \\

-3x & + & 6y & - & 3mz & = & -9

\end{array}\right\}

$

a)

[1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.

b)

[0'75 puntos] Resuélvelo para $m = 3$. Para dicho valor de $m$, calcula, si es posible, una solución en la que $y = 0$.

Considera los puntos $A(1, 0, 2)$, $B(-1, 3, 1)$, $C(2, 1, 2)$ y $D(1, 0, 4)$.

a)

[1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$.

b)

[1'5 puntos] Halla el punto simétrico de $D$ respecto del plano $x - y - 5z + 9 = 0$.

$D' = ($

$,$

$,$

$)$