Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2025 · Extraordinaria Titular

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. [2,5 puntos]

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. [2,5 puntos]

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 2}$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 3. [2,5 puntos]

Calcula el valor de $k$ para que $\displaystyle \int_{1}^{3} e^{x - k}(x - 2)\,dx = 2$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv mx - y - 2z = 5$.

a)

[1,5 puntos] Halla $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos.

b)

[1 punto] Para $m = -8$, calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las rectas $r \equiv \dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{y + 2}{3} = \dfrac{z - 2}{-1}$ y $s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}$

a)

[1 punto] Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

b)

[1,5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = 1.$$

a)

b)

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70\text{ km/h}$.

a)

[1 punto] En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media $64\text{ km/h}$ y desviación típica $4\text{ km/h}$. Si el radar de control salta a partir de $72\text{ km/h}$, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?

%

b)

[1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de $63,6\text{ km/h}$ y que el $5,05\,\%$ de todos los vehículos viaja a más de $80\text{ km/h}$. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN $N(0, 1)$

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0,1)$, esté por debajo del valor $z$.