Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2023 · Extraordinaria Titular

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea la función $f: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}$

a)

[2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b)

[0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Sea $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x(\ln(x))^2$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

[1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b)

[1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Calcula $a$ con $0 < a < 1$, tal que $\int_a^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx + 2 = 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

$a =$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 5 - x^2$ y $g(x) = \dfrac{4}{x^2}$.

a)

[1,25 puntos] Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

b)

[1,25 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $f$ y $g$.

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.

a)

[1 punto] Halla los valores de $m$ para que la matriz $A - mI$ no tenga inversa.

b)

[1,5 puntos] Halla $x$, distinto de cero, para que $A - xI$ sea la inversa de la matriz $\frac{1}{x}(A - I)$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

€

€

€

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera los planos $\pi_1 \equiv x - y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y = 2$.

a)

[1,5 puntos] Calcula la distancia entre la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ y el punto $P(2,6,-2)$.

b)

[1 punto] Halla el ángulo que forman $\pi_1$ y $\pi_2$.

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos $A(0, 2, -2)$, $B(3, 2, 1)$ y $C(2, 3, 2)$ con los planos cartesianos.