Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Extraordinaria Reserva B 2

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de $\sqrt{5}\text{ cm.}$ de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.

Opción A - Ejercicio 2

[2'5 puntos] Halla $$\int \frac{x + 1}{1 + \sqrt{x}} \, dx$$

Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{x}$.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$$\left\{\begin{aligned} x - y + z &= 0 \\ 2x + 3y - z &= 3 \end{aligned}\right.$$

a)

[1'5 puntos] Determina el valor de $m$ para el que al añadir la ecuación $x + my + 4z = -3$ al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

b)

[1 punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

Ejercicio 4.- Del paralelogramo $ABCD$ se conocen los vértices $A(-1,0,3)$, $B(2,-1,1)$ y $C(3,2,-3)$.

a)

[1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b)

[1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal $AC$ del paralelogramo.

c)

[0'5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice $D$.

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $y + x = -3$ y que el punto de inflexión tiene abscisa $x = 1$.

Sea $g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $g(x) = |\ln(x)|$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

a)

[1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $g$ y la recta $y = 1$. Calcula los puntos de corte entre ellas.

$x_1$ (menor) =

$x_2$ (mayor) =

b)

[1,25 puntos] Calcula el área del recinto anterior.

u²

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a)

Calcula $X$ e $Y$ tales que $X - Y = A^t$ y $2X - Y = B$ ($A^t$ es la matriz traspuesta de $A$). [1'25 puntos]

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

$Y = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

b)

Calcula $Z$ tal que $AZ = BZ + A$. [1'25 puntos]

$Z = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

Ejercicio 4.- Considera los puntos $A(1, 2, 3)$ y $B(-1, 0, 4)$.

a)

[1'25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales.

(,,)

(,,)

b)

[1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A$ y es perpendicular al segmento $AB$.