Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Ordinaria Reserva A

Sea $g$ la función definida por $g(x) = \dfrac{mx^3}{(x - n)^2}$ para $x \neq n$.

a)

[1'75 puntos] Halla $m$ y $n$ sabiendo que la recta $y = 2x - 4$ es una asíntota de la gráfica de $g$.

b)

[0'75 puntos] Determina si la gráfica de $g$ es simétrica respecto al origen.

Sí

No

[2'5 puntos] De la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ se sabe que alcanza un máximo relativo en $x = 1$, que la gráfica tiene un punto de inflexión en $(0,0)$ y que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{5}{4}$. Calcula $a, b, c$ y $d$.

Considera las matrices

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}.$$

a)

[0,75 puntos] Halla $A^{-1}$.

b)

[1,25 puntos] Calcula la matriz $X$ que satisface $AX = B^t C$ ($B^t$ es la matriz traspuesta de $B$).

c)

[0,5 puntos] Halla el determinante de $A^{2013} B^t B (A^{-1})^{2013}$.

Ejercicio 4.- [2'5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas

$$r \equiv x = y = z \quad \text{y} \quad s \equiv x - 1 = y - 2 = z - 3.$$

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de $f$ tiene abscisa $x = 1$ y que $f$ tiene un mínimo relativo en $x = 2$ de valor $-9$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula $$\int_2^4 \frac{x^2}{x^2 - 6x + 5}\,dx.$$

Ejercicio 3.- Sabiendo que el determinante de una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r \end{pmatrix}$ es $4$, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:

a)

[1 punto] $\det(-2A)$ y $\det(A^{-1})$.

b)

[1'5 puntos] $\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix}$.

Ejercicio 4.- [2'5 puntos] Considera las rectas

$$r \equiv x = y = z \qquad s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \qquad \text{y } t \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$

Halla la recta que corta a $r$ y a $s$ y es paralela a $t$.