Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Ordinaria Titular

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3}$ es finito, calcula $b$ y el valor del límite.

Ejercicio 2.- Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas mediante

$$f(x) = |x(x-2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4.$$

a)

[1'25 puntos] Esboza las gráficas de $f$ y $g$ sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

[1'25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.

Opción A - Ejercicio 3

Sea $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{pmatrix}$.

a)

[0,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que los vectores fila de $M$ son linealmente independientes.

Los vectores fila son linealmente independientes para todos los valores de $m$ distintos de dos números reales. Introduce dichos valores:

$m \neq$

y $m \neq$

b)

[1 punto] Estudia el rango de $M$ según los valores de $m$.

Si $m \neq 0$ y $m \neq -1$, $\operatorname{rango}(M) =$

Si $m = 0$, $\operatorname{rango}(M) =$

Si $m = -1$, $\operatorname{rango}(M) =$

c)

[0,75 puntos] Para $m = 1$, calcula la inversa de $M$.

Ejercicio 4.- Sea $r$ la recta que pasa por el punto $(1, 0, 0)$ y tiene como vector dirección $(a, 2a, 1)$ y sea $s$ la recta dada por$$\left\{\begin{array}{rcl}-2x + y & = & -2 \\ -ax + z & = & 0\end{array}\right.$$

a)

[1 punto] Calcula los valores de $a$ para los que $r$ y $s$ son paralelas.

b)

[1'5 puntos] Calcula, para $a = 1$, la distancia entre $r$ y $s$.

Ejercicio 1.- Sea $f: (-\infty, 1) \to \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \le 0, \\[6pt] a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1. \end{cases}$$

a)

[1'5 puntos] Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es derivable en todo su dominio.

b)

[1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

[2'5 puntos] Sea $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de $g$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 3.- Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

a)

[1'5 puntos] Comprueba que $A^2 = 2I$ y calcula $A^{-1}$.

$$\begin{pmatrix} \text{a}_{11} & \text{a}_{12} \\ \text{a}_{21} & \text{a}_{22} \end{pmatrix} = ($$

$$\\$$

$$)$$

b)

[1 punto] Calcula $A^{2013}$ y su inversa.

$k_1 =$

$k_2 =$

Considera los puntos $P(2, 3, 1)$ y $Q(0, 1, 1)$.

a)

[1'75 puntos] Halla la ecuación del plano $\pi$ respecto del cual $P$ y $Q$ son simétricos.

b)

[0'75 puntos] Calcula la distancia de $P$ a $\pi$.