Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2022 · Extraordinaria Titular

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Calcula $a$ sabiendo que $\lim_{x\to +\infty} \frac{ax}{(\ln x)^3 + 2x} = 1$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = -x^2 + 12$ y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

$V_1 = ($

$, 0)$,

 $V_2 = ($

$, 0)$

$V_3 = ($

$,$

$)$,

 $V_4 = ($

$,$

$)$

$A =$

$\text{u}^2$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Calcula $\displaystyle\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1}\,dx$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1+x} - 1$.)

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^3 + 2$ y $g(x) = -x^2 + 2x + 2$.

a)

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboza sus gráficas. [1,25 puntos]

Introduce los tres puntos de corte ordenados de menor a mayor abscisa ($x_1 < x_2 < x_3$):

Punto 1:

$x_1 =$

$y_1 =$

Punto 2:

$x_2 =$

$y_2 =$

Punto 3:

$x_3 =$

$y_3 =$

b)

Determina el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$ en el primer cuadrante. [1,25 puntos]

$\text{u}^2$

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.

a)

Determina los valores de $a$ para los que la matriz $B$ no tiene inversa. [0,5 puntos]

b)

Para $a = 1$ calcula $X$ tal que $A X B = C$, si es posible. [2 puntos]

Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2$.

a)

Calcula: $\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix}$ [1 punto]

b)

Calcula: $\begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix}$ [1,5 puntos]

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera las rectas $r \equiv x + 1 = y - a = -z$ y $s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$

a)

Calcula $a$ para que $r$ y $s$ se corten. Determina dicho punto de corte. [1,5 puntos]

$($

$,$

$,$

$)$

b)

Halla la ecuación del plano que pasa por $P(8, -7, 2)$ y que contiene a la recta $s$. [1 punto]

Sean el plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ y la recta $r \equiv x = \dfrac{y}{3} = z - 1$.

a)

Calcula, si existe, el punto de intersección de $\pi$ y $r$. [0,75 puntos]

b)

Dado el punto $Q(2, 6, 3)$, halla su simétrico respecto del plano $\pi$. [1,75 puntos]