Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Ordinaria Reserva B

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Ejercicio 2.- Sean $f$ y $g$ las funciones definidas por $f(x) = 2 - x$ y $g(x) = \dfrac{2}{x + 1}$ para $x \neq -1$.

a)

[0'5 puntos] Calcula los puntos de corte entre las gráficas de $f$ y $g$.

b)

[0'5 puntos] Esboza las gráficas de $f$ y $g$ sobre los mismos ejes.

c)

[1'5 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

$$\left. \begin{array}{rcrcrcl} x & + & 2y & + & z & = & 0 \\ x & - & y & + & mz & = & m - 2 \\ mx & + & y & + & 3z & = & m - 2 \end{array} \right\}$$

a)

[1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.

b)

[0'75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para $m = 2$.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio 4.- [2'5 puntos] Determina el punto de la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{2} = z+1$ que equidista de los planos

$$\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv \begin{cases} x = -4 + \lambda - 3\mu \\ y = 1 + \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$

$x =$

$y =$

$z =$

Sea $f$ la función definida por $f(x) = x e^{\frac{1}{x}}$ para $x \ge -1, x \ne 0$.

a)

[1 punto] Calcula los límites laterales de $f$ en $x = 0$.

b)

[1'5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

[2'5 puntos] Calcula $\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}}\, dx$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$.

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $\det(M) = 2$. Calcula:

a)

[0'5 puntos] El rango de $M^3$.

b)

[0'75 puntos] El determinante de $2M^t$ ($M^t$ es la matriz traspuesta de $M$).

c)

[0'75 puntos] El determinante de $(M^{-1})^2$.

d)

[0'5 puntos] El determinante de $N$, donde $N$ es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de $M$.

Considera los puntos $A(0, 5, 3)$, $B(-1, 4, 3)$, $C(1, 2, 1)$ y $D(2, 3, 1)$.

a)

[1'75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que $ABCD$ es un rectángulo.

b)

[0'75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.