Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Extraordinaria Titular

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x\to 0} \frac{a(1-\cos(x)) + b\operatorname{sen}(x) - 2(e^x - 1)}{x^2} = 7.$$

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Halla $a > 0$ y $b > 0$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}$$ tiene en el punto $(1, 2)$ un punto crítico.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = 1 + \int_0^x t e^t \, dt.$$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ (para $x \neq -1$, $x \neq 1$). Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(2, 4)$.

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$.

a)

Comprueba que $A^2 = -A^{-1}$. (1.25 puntos)

b)

Dadas las matrices

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},$$

calcula la matriz $X$ que verifica $A^4 X + B = AC$. (1.25 puntos)

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a)

Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.

No

Sí

b)

Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Viajes por la ruta A:

Viajes por la ruta B:

Viajes por la ruta C:

La recta perpendicular desde el punto $A(1, 1, 0)$ a un cierto plano $\pi$ corta a éste en el punto $B\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

a)

Calcula la ecuación del plano $\pi$.

b)

Halla la distancia del punto $A$ a su simétrico respecto a $\pi$.

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas

$$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \qquad y \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$

a)

Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. [1.25 puntos]

b)

Halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$. [1.25 puntos]