Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2013 · Extraordinaria Reserva A 2

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)}$ para $x > 0$, $x \neq 1$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

a)

[1'25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)}$ para $x > 0$, $x \neq 1$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

b)

[1'25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = e$.

[2'5 puntos] Sea $g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por

$$g(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}}$$

Determina la primitiva de $g$ cuya gráfica pasa por el punto $P(1, 0)$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{x}$.

Sean

$$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m-2 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$$

a)

[1'25 puntos] Determina el rango de $A$ según los valores del parámetro $m$.

b)

[0'75 puntos] Discute el sistema $AX = B$ según los valores del parámetro $m$.

c)

[0'5 puntos] Resuelve el sistema $AX = B$ para $m = 1$ en función del parámetro $\lambda$ (tomando $z = \lambda$):

Considera los puntos $A(1, 2, 1)$, $B(-1, 0, 2)$ y $C(3, 2, 0)$ y el plano $\pi$ determinado por ellos.

a)

[1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta $r$ que está contenida en $\pi$ y tal que $A$ y $B$ son simétricos respecto de $r$.

b)

[0,75 puntos] Calcula la distancia de $A$ a $r$.

u

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \dfrac{k}{(x - a)(2x - 1)}$ para $x \neq a$ y $x \neq \dfrac{1}{2}$.

a) [1 punto] Halla $a$ y $k$ sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(0,2)$ y que la recta $x = 2$ es una asíntota de dicha gráfica.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \dfrac{k}{(x - a)(2x - 1)}$ para $x \neq a$ y $x \neq \dfrac{1}{2}$.

b) [1'5 puntos] Para $k = 4$ y $a = 2$, halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \operatorname{sen}(2x)\, dx$.

Ejercicio 3.- Sean $A$ y $B$ las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix}$$

a)

[1'25 puntos] Calcula las matrices $X$ e $Y$ para las que $2X - Y = A$ y $X - 3Y = B$.

b)

[1'25 puntos] Halla la matriz $Z$ que verifica $B^2 + ZA + B^t = 3I$ ($I$ denota la matriz identidad y $B^t$ la matriz traspuesta de $B$).

Ejercicio 4.- Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por

$$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 3\lambda \\ y = 3 + 5\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ z - 5 = 0 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Determina la posición relativa de $r$ y $s$.

b)

[1'5 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.