Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Extraordinaria Titular

Ejercicio 1.- [2,5 puntos]

Dada la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $$f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1,0)$.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$$\left\{\begin{array}{rcc} x + y + 2z & = & 0 \\ (m+2)x + y - z & = & m \\ 3x + (m+2)y + z & = & m \end{array}\right.$$

(a)

[1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.

(b)

[1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $m = 0$.

Ejercicio 4.- Se consideran los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2, -1)$ y $\vec{w} = (2, \alpha, \beta)$, donde $\alpha$ y $\beta$ son números reales.

(a)

[0,75 puntos] Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ es ortogonal a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

(b)

[0,75 puntos] Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ y $\vec{v}$ tienen la misma dirección.

(c)

[1 punto] Para $\alpha = 8$, determina el valor de $\beta$ para el que $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

[2,5 puntos] Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dada por

$$f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \le 0 \\[2ex] \dfrac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Opción B

Ejercicio 2.- Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x e^{-x^2}$.

(a)

[1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes coordenados y los extremos relativos de $f$ (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

(,)

(b)

[1,25 puntos] Determina $a > 0$ de manera que sea $\dfrac{1}{4}$ el área del recinto determinado por la gráfica de $f$ en el intervalo $[0, a]$ y el eje de abscisas.

Opción B

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

°

°

°

Ejercicio 4.- Considera las rectas $r \equiv \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-k}{2} = \dfrac{z}{2}$ y $s \equiv \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-3}{1}$.

(a)

[1,5 puntos] Halla $k$ sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.

$k =$

(b)

[1 punto] Para $k = 1$, halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.