Exercici 3 · Matemàtiques Ii UPF 2021

Exercici 3 (10 punts). Funcions homogènies i gradient

Se sap que el gradient d'una funció homogènia $f(x, y)$ de grau $k$ té la forma següent:

$$\nabla f = \left(2x - 3\frac{y^a}{x^b}, 9\frac{y^b}{x}\right)$$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals.

a)

[6 punts] Trobeu el grau d'homogeneïtat $k$ de la funció $f(x, y)$ així com els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

Nota: Si una funció $f(x, y)$ és homogènia de grau $k$, aleshores les seves derivades parcials són funcions homogènies de grau $k - 1$.

b)

[4 punts] Calculeu l'expressió explícita de la funció $f(x, y)$.