Exercício 3.2 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2022

Tema: Sucessões e progressões · Do exame 1.ª fase (2022)

Enunciado

A Leonor decidiu construir um castelo com cartas de jogar, tal como mostra a Figura 1.

Para o fazer, a Leonor procedeu do seguinte modo:

na primeira fila, colocou 20 cartas inclinadas e 9 cartas horizontais;

na segunda fila, colocou 18 cartas inclinadas e 8 cartas horizontais;

na terceira fila, colocou 16 cartas inclinadas e 7 cartas horizontais;

e assim sucessivamente, até à décima fila, em que colocou apenas 2 cartas inclinadas.

3.2. A construção completa de qualquer castelo de cartas deste tipo termina sempre com a fila que tem apenas 22 cartas, independentemente do número de filas do castelo.

Se a Leonor conseguisse construir um destes castelos com 100100 filas, quantas cartas teria de utilizar?

Justifique a sua resposta.

Enunciado: Exercício 3.2 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2022

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Justifique a sua resposta.

Resposta: Considerando a sequência do topo para a base, trata-se de uma progressão aritmética com primeiro termo u1=2u_1 = 2 e razão r=3r = 3. O termo de ordem 100 é u100=2+(100−1)×3=299u_{100} = 2 + (100 - 1) \times 3 = 299. A soma dos 100 termos é S100=2+2992×100=15 050S_{100} = \frac{2 + 299}{2} \times 100 = 15\,050.

Se a Leonor conseguisse construir um destes castelos com 100 filas, quantas cartas teria de utilizar?

Resposta: 15050

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