Exercício 8.1 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2022

No verão passado, o João esteve a observar os pássaros que voavam perto da casa do avô.

Um pássaro descrevia um voo horizontal em linha reta quando, em certo momento, observou um alimento no ramo de uma árvore, à mesma altura do voo que estava a efetuar. Para se aproximar do alimento, o pássaro descreveu, no mesmo plano horizontal, um arco de circunferência.

A situação, vista de cima, está representada no esquema da Figura 7. Nesta figura, que não está à escala:

o segmento de reta $[AB]$ representa o voo inicial do pássaro, em linha reta;

o ponto $C$ representa a localização do alimento;

o ponto $O$ representa o centro da circunferência que contém o arco $BC$ descrito pelo pássaro;

a circunferência de centro $O$ é tangente à reta $AB$ no ponto $B$;

$r$ é o raio da circunferência, em metros;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo agudo que a reta $AB$ faz com o segmento de reta $[BC]$;

$d$ é a distância de $B$ a $C$, em metros.

8.1. Mostre que $r = \dfrac{d}{2\operatorname{sen}\alpha}$.

Na sua resposta, comece por decompor o triângulo $[BOC]$ pela altura relativa a $[BC]$.